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第二回 合不合予備 2010年7月18日 解答と解説


前回の問題の解答と解説です。

積が等しくなるためにはAとBに書かれた三枚のカードの積を素因数分解したときに同じ数字になっているということです。それ気に気がつけば、ただ単にやみくもに考えるのではなく考える方向がぐっと絞られてきます。1から9までの数をそれぞれ素因数分解すると
1=1
2=2
3=3
4=2×2
5=5
6=2×3
7=7
8=2×2×2
9=3×3
となり1から9までには素数が2が7個、3が4個、そして素数である5と7が一つずつあります。
つまり5と7は一つしかないのでAとBの二人に等しく分けることはできません。なので5と7のカードはCが持っているということになります。(説明がいまいちどうも下手ですが伝わるでしょうか。)
あとは2と3をどのようにAとBに等しく分けることができるか、ということになります。
また3がちょうど4個あり、Cはすでに5と7のカードを持っているので1枚しか持てないので、3を含むカード、これはAとBに二個ずつ分けないといけません。(理由の説明は省きますが、ピンとこない人は実際に3か6か9のカードをCが持ったとして考えてみましょう。うまくいかなくなります。)

また9は3×3で3が二つあるのでカードはどちらかが3と6を持ち、もう一方が9を持っているということになります。

これでだいぶ条件が絞られていきます。わかる範囲を整理すると

A(3,6、□)か(9、□、□)
B(9、□、□)か(3,6、□)
C(5,7、□)か(5,7、□)

となり、残り4枚のカードをどう割り振るかです。
3と6のカードを持っているほうは6の中に2が含まれているので(2×3より)9を持っている人は、3と6を持っているほうよりも2が一つ多くなるように割り振ればいいわけです。
ちょっと分かりづらい日本語ですいません。
(適切かどうか知りませんが、普段僕は勝手に素因数分解する数を「成分」と呼んで解説しています。たとえば6だったら2と3の成分を一つ持っていて、8だったら2の成分を3つ持っている、といった具合です。)

残りのカードは2しか素数に持っていないので、9のカードを持っているほうが2の成分を一つ多くするように分けると(4と1,8)か(2と1,4)の2パターンが考えられます。

つまり3人が持っているカードのパターンは

A(3,6,4)か(9、1,8)もしくは(3,6,2)か(9,1,4)
B(9,1,8)か(3,6,4)もしくは(9,1,4)か(3,6,2)
C(5,7,2)か(5,7,2)もしくは(5,7,8)か(5,7,8)

となります。

ということでCは(5,7,2)であれば和が14で(5,7,8)であれば20となります。

答え14 20


(2)
まずCが持っているカードの和は三人が持っているカードの平均と等しいということが分からないと先へはすすめません。(AがX+a、CがX、BがX-aとすると三人の和は3Xとなります、1から9までの和は45でありそれが3XなのでX=15となります。小学生には和と差で解説すればいいと思います。)

またCはどちらのパターンでもはじめに5のカードを持っているのでCからAに5のカードが渡ったということが分かります。

もしCが(5,7,8)だったとすると5をAに渡し、Bからいずれのカードを受け取っても必ず15を超えてしまいます。(7と8の二枚の和ですでに15になります。)
なのでCは(2,5,7)であったことが分かります。

CはAに5をあげてBから何かをもらって15になるので15-(2+7)=6より6をもらったことが分かります。

すると(1)より三人が初めに持っていたカードは
A(1,8,9)
B(3,4,6)
C(2,5,7)
ということが分かります。あとはA、C、Bの順になるようにやり取りさせてみましょう。ここまでくればもうやり方はどうでもいいので手作業で調べればいいだけです。

A(1,8,9)→(5,8,9)
B(3,4,6)→(1,3,4)
C(2,5,7)→(2,6,7)

答え(1,3,4)


コメントにもいただいたように5と7がカギになります。
大体どこの塾でも5年生の初めごろに約数、倍数に関することを学習します。最小公倍数最大公約数などは次に本格的に学習する分数の準備段階ですね。

その時にたいていさりげなく積の形(素因数分解)のやり方を学びますが、そのままそれが本番で出題されることはまずないです。今回の問題のように数の性質、場合の数、推理などに利用する場合が多いです。

8月の、この時期は6年生の大半は徐々に過去問に触れる機会が多くなってきます。実戦の問題に触れるという、そういう経験を通してこの手の問題は半年後にクリアできるようにならないといけません。今回のテストで解けなかった子もできれば夏休み明けには解けるようになると良いです。

お盆になると塾が数日休みになりますが、キチンと計画は立てているでしょうか。
数日とはいえ過ごし方如何で少なからず差が出てきます。

僕の指導している子供たちはとりあえずは・・・・目立った課題もなく各々、その子なりに過ごしていますが、夏休み明けのテストは心配です(汗)みんな頑張ってくれるといいんですが・・・。




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第二回 合不合予備 2010年7月18日




そういえば今年度から朝日新聞で中学受験の問題が掲載されなくなりました。
解説が長くならない受験算数入門編的な問題が多く、扱いやすいのでこちらでも何度か取り上げていたのですが残念です。

それを差し引いても最近算数の問題も全然載せていませんので久々に取り上げてみようかなと思います。

もうなんか時期をかなり逸している感はありますが・・・7月18日の四谷大塚の合不合予備からです。夏の時点では最難関レベルの問題ですが、ロジカルな部分が多く、つまり経験を積めば解けるような良問なので取り上げてみました。

中学受験を終えて数学に入るとこの手の問題は触れる機会がなかなかないと思うので挑戦してみるといいかもしれませんね、良い頭の運動になるんじゃないでしょうか。


問題

~~

1から9までの整数が書かれたカードが一枚ずつ、全部で9枚あります。このカードをA、B、Cの三人に三枚ずつ配ったところAが持っている三枚のカードの整数の積と、Bが持っている三枚のカードの整数の積が等しくなりました。次の問いに答えよ。


問1
Cに配られた三枚のカードの和はいくつか、考えられるものをすべてあげよ。
問2
三人がそれぞれ持っているカードのうち1枚をAはB、BはC、CはAに同時に渡しました。その結果三人がそれぞれ持っているカードに書かれている整数の和は大きいほうからA、C、Bとなり、AとCの差、CとBの差が等しくなりました。また、5と書かれたカードは最後にAが持っていました。このときBが最後に持っているカードにかかれている数をすべて答えよ。

~~


最初にも書いたように難度の高い問題ですので学力的に上位1割くらいの位置であれば解き直しをしてもいいかなという感じです。

ただこの問題の前に設問されていた立体図形の切断問題は難しいというか、形が分かっても体積が求められない人は多かったんじゃないでしょうか。こっちに比べて最後のこちらの問題のほうが良い問題なんじゃないかなと思います。


次回、解説します。


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10月24日 朝日新聞掲載問題 答えと解説



条件整理の要素を含んでいるので闇雲に探しつつもその過程で流れがつかめたら実戦力としては申し分ないと思います。

(1)
A君とB君の赤の鉛筆の本数が同じだということは二人の赤の鉛筆の和が偶数になるということです。これはどんな数であっても二人分なので必ず二で割り切れます。またB君の鉛筆の青の本数は赤の二倍なのでB君の青の鉛筆も偶数になります。するとA君の赤の鉛筆の本数、B君の赤の鉛筆の本数、B君の青の鉛筆の本数のいずれかが定まれば他の二つの値もおのずと定まります。
例えばB君の青の鉛筆の本数が最も少ない2本の時、A君とB君の赤の本数はそれぞれ28-2=26本となります。またA君の青の鉛筆の本数は1本となります。
と、言う風にですね、B君の青の本数が決まることで他もすべて定まります。
これはB君の青の鉛筆が4本、6本、・・・・24本、26本まで、それぞれ一通りに定まります。
B君は2本から26本とそれぞれ一通りずつなので全部で13通りとなります。

答え 13

(2)
(1)での発想を利用してみるとB君の緑の鉛筆の本数は3の倍数となります。
借りに緑の本数が最少の3本の場合、B君の赤と青の鉛筆の本数の和は21-3本=18本となります。ここで(1)の問題を解いた過程を利用します。先ほどは赤と青の本数の和は28本でした。そのとき2本から26本と13通り作ることができます。今回は、18本です。するとB君の青の本数が2本から16本と8通り作ることができます。そのまま緑の本数を6本、9本、12本、15本、18本と増やした場合で考えるとそれぞれ7通り、5通り、4通り、2通り、1通りとなっていきます。それぞれの減り方に規則がないので早とちりしないように気をつけましょう。ここ、難しいところですね。この人ひねりが意外に正答率を下げそうなんですが、どうなんでしょうか

答え 27


この学校の解答用紙はおかしいですよね、数字一つに対してマスが一つが用意されているので答えの桁数や、小数か分数か分かってしまいます。「いまの時代よくこんな解答用紙」なんて思っちゃいます。

ちなみにこの学校の算数の過去問は総復習や、実力確認に使えるんじゃないかなと思います。塾の授業でも使用することは比較的多いんじゃないでしょうか。11月ごろなのでこういう各単元まんべんなく出題されている問題は志望校でなくともいろいろ使い道があると思います。


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10月24日 朝日新聞掲載問題

久しぶりに問題を載せます。
最近載せる度に久々といっているような気もしますが、まあ良いですかね、細かいことは。

10月24日の朝日新聞からです。

A君とBはどちらも赤、青、緑の鉛筆を持っています。
B君が持っている鉛筆の本数は、A君と比べて赤は同じ、青は二倍、緑は三倍です。
このとき、次の■に適当な数字を入れなさい。
(1)
B君が赤、青の鉛筆を合わせて28本持っているとき、A君が持っている赤、青の鉛筆の本数の組は全部■通り考えられます。
(2)
B君が赤、青、緑の鉛筆を合わせて21本持っているとき、A君が持っている赤、青、緑の鉛筆の本数の組は全部で■通り考えられます。


場合の数です。
全体的に基本題を満遍なくというのが慶応中等部の印象ですが強いてあげれば中等部にはこの場合の数があります。たいていは終盤に設問されていますね。

慶応中等部といえば、問題は易しめで有名ですが、かといって満点を取れるかというとそれはそれで結構大変なんじゃないかなと思います。未公表なのでなんともいえませんが、合格者平均点も高いときは8割いっているんじゃないかなと思います。
ただ場合の数での難問が出てくると満点は難しいだろうなと思います。

この問題であれば時間に余裕があれば正答率は比較的高いように思われます。
最初は書き出していったとしても途中から規則に気がついて(2)はスムースに解けるかもしれません。

では解答解説はまた次回です。

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第二回サピックスオープン 2009 1番 解答

疲れ気味な今日この頃ですが、問題出しっぱなしで幾日も過ぎていくわけにはいかないので頑張って解説します。


(1)
①だけの条件を満たすのであれば三ケタであるということなので、三つの積が100以上999以下です。Cをできる限り小さくしたいのであれば(1,2,3)から順番に(2,3,4)、(3,4,5)と調べていけばいいだけです。そうすると(4,5,6)ではじめて100を超えます。のでもっとも小さい数は6です。ぎゃくにCを大きくしたいのであればA,Bの二つをできる限り小さくすればいいです。そうすると(1,2,500)が丁度100となるので、500より1小さい499であれば1×2×499=998となるので499が正解です。


答え
最も小さい数6
最も大きい数499

うーん、一番の問題がよくわからないとへこみます。解答の解説見てどうってことないと余計にへこみます。


(2)(3)はまとめていきます。
一見いくらでもパターンができそうなのですが、そんなわけはないわけでしてちゃんと限定されるわけです。
(2)の条件を満たすということは

A×B=CとなるのでA×B×C=C×Cと置き換えることができます。
つまり三ケタの整数の平方数だけに注目すればいいわけです。そうすると話は大分早くなります。
10×10から31×31までを順々に調べていけばいいのです。
さらにC×Cの成り立たせるCはA×Bと因数分解されなくてはいけないのでCが素数だと成り立ちません。整理するとCに当てはまる数字は10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、となります。
さらにもうひとつ、Cそのものが平方数でできているとこれまた作れません。たとえば16×16は(1、16,16)(4,4,16)となるので条件に合いません。25も同様です。この時点で(2)の答えは最小が10、最大が30となります。
そこまで絞ったらあとは書洩らしがないよう丁寧に数える、調べるだけです。こういう作業は得意不得意はあるかもしれません。算数が苦手な子供でも地道な作業が得意な子はいますね。


(2)
答え 最小10,最大30
(3)
2,5,10    2,9,18     3,8,24      3,10、30
3,4,12    4,5,20     2,13,26     5,6,30
2,7,14    3,7,21     4,7,28
3,5,15    2,11,22    2,15,30


じゃあ、この後は2番に来ましょう。

次の問題に関してはBタイプではありますが、今後いろいろな学校で出題されそうな問題です。

ではまた次回、明日には更新したいです・・・・たぶん。


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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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