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ベストな計算方法  その3

56分の1+63分の1+72分の1
81分の1+108分の1+162分の1


前回この二問を載せました。



例題の1問目は式を変形させます。予習シリーズの一行題と計算やサピの基礎トレではこの手の変形問題はよく載っています。

数学では分数式(多項式の乗除)という単元がありますがこれを算数でも利用しているわけですね。
X(X+1)分の1=X分の1−(X+1)分の1というように変形できるのですがこれを算数で利用すると(2×3)分の1=2分の1−3分の1というようになります。

これが基本の形でして少し手を加えると因数分解などもできますね。
6分の1=(2×3)分の1=2分の1−3分の1というような流れです。

それを今回の問題に利用してみましょうか。
三つ全ての項ではなく両サイドだけ変形するのです。

56分の1+63分の1+72分の1=(7×8)分の1+63分の1+(8×9)分の1=(7分の1−8分の1)+(8分の1−9分の1)+63分の1となり、ここで8分の1を打ち消します。

すると
(7分の1−9分の1)+63分の1=63分2+63分の1=21分の1

答え 21分の1



んじゃ次の問題です。

これは分母が27の倍数なのですべてを通分して素直に解いてもいいんでしょうが僕は以下のように解きました。

81分の1+162分の1+108分の1=162分の2+162分の1+108分の1=162分の3+108分の1=54分の1+108分の1=108分の2+108分の1=108分の3=36分の1

答え 36分の1

少し順番を変えてできるだけ大きい数で通分しないように解いてみたわけです。


この2問目なんか1問目以上に、計算する際どういう処理の仕方が得意かによって個体差があると思います。
例えば12×16という計算をそのまま192と求めるか、24×8や6×32と変形してから計算するか人それぞれであるのと同じように、こういう時にどれがベストかというのは選べない、決められないのかなと。


今回取り上げた計算もそうですね。結局は地道に計算演習を繰り返して自分なりの道筋を作り上げていくしかない、僕は計算に関しては基本的にそう考えています。
僕は計算方法を教えるときはまず本人が正解するまで解かせてそのあとにベター、ベストだと思われる計算方法を教えます。ですがそれも計算のレベルによっては無理強いはしません。

最初の段階としては時分の知らない計算方法を知ってもらうだけでいいかなと。

万人が明らかに「こちらのほうがいい」という計算方法もあると思いますが、これはむしろ無駄だと思う計算方法でやってみて、体感して初めて使えるようになるのかなと思います。


とにかく計算に関しては何がいいか悪いか議論するくらいならとにかく解いて脳を鍛えて欲しいというのが僕の考えです。

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ベストな計算方法 その2



分数の計算問題ですのでちょっと読みづらいですが
書きなおすなり、各々変換していただければです。

とりあえず1問目。

36×9分の4+0.36×18分の25-12分の5×3.6

これは日能研のカリテで載っていた計算問題です。



この問題なんですが・・・これ、日能研の解説はどう書いてあったんでしょうかね、確認しませんでしたが
僕はどう解こうか迷いました。

生徒がこの問題を間違えていたので
「いやあ、君ねえ、これは分配法則しなきゃダ・・・・ちょっと待ってね・・・」
偉そうに講釈でもたれとようかと思ったんですが分配法則をしようとすると何かクリアに答えが出てこない。

ぱっとみると36、0.36、3.6とあるので桁をいずれかにそろえてまとめるの一般的かと思ったんです。

ところが、たとえば36にそろえるとすると

36×9分の4+36×1800分の25+120分の5×36すなわち
36×(9分の4+1800分の25+120分の5)として計算することになります。

しかしこれをまず頭の中で分配法則してイメージしたときにカッコ内の足し算が面倒くさいなあと思ったわけです。通分して足して36かけてと・・・鉛筆を動かさないとできないなあと。

この計算はむしろ普通に計算したほうが速いんじゃないかなと思ったのでやってみるとすんなりできたんですね。

16+0.5+1.5とそれぞれ素直な数になり足し算も楽だったので暗算でサクッと出来たわけです。
なぜそう思ったかというと「36、9、18、12」とどれも36の約数ですので普通にやったらきれいに行く気がしたからです。

この問題はどちらががベターか、何がベストかというのはやはり人それぞれなんじゃないかなと思いまして取りあげてみました。(全員一致でベストな計算方法があったらすいません・・・)
とりあえず、僕の計算力では後者がベストだったわけですがこれが多くの人に当てはまるとは正直思えないのです。

ちなみに僕はこの問題、あれこれと迷った時間も含めて5分はかからなかったと思います。2,3分でしょうか。
迷わずに行けば分配法則であってもなくても、もっと素早く解ける子供もいるでしょう。

「何が楽で安全かなあ」なんて考えるよりは直感的にすぐさま思いついたやり方で解いた方がいい問題なのかもしれません。

さて、もう二問取り上げてみます。最近あまり時間がないのでここでいったん区切りまして
とりあえず問題だけ載せておきます。


56分の1+63分の1+72分の1
81分の1+108分の1+162分の1



こちらは市販の計算問題集の「でる順」からです。

ええ、また更新にだいぶ時間がかかりそうなので暇な人はいろんなアプローチを考えてみてください。

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ベストな計算方法



ひさしぶりに計算について話をしてみようかと思います。
今取り上げることに特別な理由もなく、たまたま最近興味深い計算問題を見かけたからです。
どんな問題かはさておいてですね、ちょっと計算について話をしてみようかと。


ベストな計算方法とは何か?というのは算数において長年のテーマかもしれません。

それだけに結論はなかなか出ないですね。長年なんて言うと大げさですが要は普遍的な結論がないのではないかと思うのです。
局面局面において十中八九この方法がいいというのがあるにせよ、それもやはり絶対ではないですし、段階においてのベストな計算というのもあると考えています。

これはどういうことかというと、Aの方法、Bの方法がある時、明らかにAの方が良いにもかかわらず子供にそれを指摘しても全然直らない、という時に注意しなければいけないと思います。

「どう考えてもこちらの方がいいと思うんですけど、この子はいくら指摘しても直そうとしないのです、先生どうすればいいですか?」

このような質問は良く受けます。

僕の場合、結論から言うと「子供が心の底から納得しない限りは強制する必要がないので答えさえあっていればとりあえず良いです。」というようにします。

計算というのは反復の典型でして、言われたからそれがそのまますぐに実践できるというものではありません。理屈は分かっていても本人が「ああ、なるほど」と思えなくてはすぐさま使えるようになりません。

まだ計算を習い始めた小学生低学年であれば「こういう方法で計算しましょう」と言えば素直にそれを吸収してどんどん覚えていくかもしれません。公文式みたいなのも同じような原理でできるんじゃないかと思います。


受験算数においては、計算方法のやり方は分かっていたり塾に通っているという自分自身にそれなりのプライドというか自身があったりすると「計算の工夫」に対して他者から強制されることに強い抵抗を覚えることはよくあります。塾の先生から指摘されるならともかく親に「あんたその計算じゃ、ミスも多いし、時間もかかるから、こういう風にしなさい」と言われてもなかなか改善されません。そして「あんたは本当に頑固ねえ、どうしてそんなこと(その方法が良いという事)がわかんないわけ?」なんてなるともうなかなかその溝を埋めるのは大変になってきますね。

また、抵抗感はなくともその工夫の仕方に自信がない、ピンとこない、という事もあります。

たとえば0.125が8分の1だといわれてもそれに対していまいち自信が持てないのならば「それは自明の理である」と心から体感するまで何百何千と解くしかないです。まあ、そんなこといちいち考えないレベルという事でしょうか。

ある計算において暗算が自信がない場合も同じです。
1+1=2である、という事を筆算しなくてもいいようにあるレベルの計算においては筆算と暗算の制度が同じくらいにならなくては困るのです。(そのレベルは志望校によって求められる資質や段階がずいぶん違うので万人に対してここまで、というのはありません。)

つまりベストな計算方法は個々人が自分が反復することで見つけていくしかないと思うのです。

人に教わって素直に受け入れた場合でも思考の過程としては「言われた方法を実践する→反復する→スピードが上がる→瞬時に分かる」というようにして体の中から納得するしかないのです。


以前計算の話を取り上げた時も書きましたが計算は算数の筋トレです、地味ですがとても重要です。昨今の政府がうちだした画期的な「ゆとりなんちゃら」とやらで子供たちの基礎体力はすっかり落ちました。ええ、まったくもっておかげさまです。

受験算数の様々な解法を理解しても計算力がともなわないために応用題がいまいち理解できない、というつまらない事態に陥ってしまう子供が多いです。じつにもったいないわけです。

「計算なんて地味でつまらない」なんてのは逆だと思うのです。
算数なんだから計算力ないと面白いものも面白くなくなっちゃたりするわけなんです。



なので本人が聞いてでも来ない限りは原則計算演習をやらせるしかないです。
当然、僕は立場上計算方法を教えることはしますが、いくつかのパターンがあっておかしくないと考えていますし、6年生くらいであればよほどの事態でない限り「こういう方法がある」という以上は踏み込みません。
その先の段階にいくためにはまずは手を動かして納得行くまで演習しなさい、ということです。
計算演習にかける時間は別としてベストな計算に近づくためにはかなり限られた場合ではない限り、近道はそうそうないと思います。


ええ、で、今回取り上げようと思った計算問題を次回取り上げてみます。



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計算式と暗記



もう一つの質問として計算式についていただきました。
計算を早くするために暗記をしたほうがいいのか?という内容の質問です。

塾で、ある計算に関しては暗記をしておくようにと紙をもらったようです。

たとえば、でる順シリーズの計算問題などでは、どういうのは覚えてほしいのか書いてあります。ある程度の計算は「常識」として扱われているのは確かです。

分数に関して、3.14に関して、平方数に関して、暗記しなくてはいけない紙に大体どこまでのことが書かれているのかは想像できます。

分数であれば、分母が2,4,5,8。
3.14であれば1の位すべてと、平方数を掛けたものもあるかもしれません(16×3.14、ほかには25、36など)。
平方数は20くらいまででしょうか。他には24×24、25×25などでしょうか。

塾によって暗記させるかどうかというより、講師によってのほうが差異があるかもしれません。

僕の考えを先に述べておきます。
暗記するに越したことはないけど、暗記したならば必ず継続して計算演習をすることだと思います。
暗記しなくても暗記するくらい計算演習をすれば問題ないです。おそらく四則演算のみの計算を1日10問、2年間くらい続ければ暗記しなくても十分なくらい体が覚えます。

優先順位としては分数は一番初めに覚えておいたほうがいいと思います。

ではまた何か、キリのいい数で例題を作ってみます。

1. 6×0.8×1.25×0.625=というのがあったとします。
答えは1です。分数に直してみると非常にクリアです。
このような計算を2,3分かけられてしまうと6年生ではまずいかなという気はします。どれくらいの割合で存在するのかはわかりませんが。
もし6年生で筆算を書き出したら分数での変換を教えますし、できれば覚えてほしいです。ただ最初に書いたように覚えても使わなければすぐ忘れます。だからこういう部分で日ごろ継続して勉強しているのかどうか意外にわかってしまいます。計算演習をためて1日に一気にやろうとする子などは一目で分かります。覚えたことを日ごろ使っているのかどうか、ひどい時はその子にとって塾通いや受験勉強が有意義なものかというのも考えさせられる場合もあります。


3.14の計算は筆算をするときに3.14を上に書く習慣をつける早く覚えるとおもいます。
たとえば627×3.14というのがあったとします。これを3.14を上に書いて筆算をすれば順に2198、628、1884と位をずらしながら書いていけばすぐにできます。627を上に書いてしまうと・・・ええとすぐに出てこないですけど2508、627、1881となりますね。
字面で並べると伝わりませんが今書いている間の時間のロスが3.14を上においた場合よりもかかるわけです。説明が分かりづらいかもしれませんが書いてみるとわかるかと思います。

日頃の筆算から気をつけておくといつの間にか1の位の計算はすぐ覚えます。

ほかにもこういうのはちょっとした遊びでそれほど効果はないですけど
5×3.14+4×6.28+9×9.42などは工夫して分配法則をすれば40×3.14となり125.6と出てきます。

平方数も慣れておくと応用題で発揮してきます。
ちなみに小学生は根号(ルート)が使えない分、たまに反則技みたいな問題が出てきます。中堅校などの算数のみの試験だったり、特選用の試験ではしばしばみかけます。まあ、そういう問題は変に難しくしてあったりするのでの場合ではなくても144や169や196あたりはすぐにでてくると1辺の長さが12,13,14とでてきたりですね。やはり知っているか知らないか問題を解いている過程でピンとくるひらめきがあったりなかったりするわけです。

計算の工夫ではほかによくあるのが
2分の1+6分の1+12分の1+20分の1+30分の1+42分の1・・・このままどこまで続けてもいいのですが、とりあえずここら辺までで。一つの分数を二つに分解して計算すると7分の6と求められます。通分しちゃ駄目ですよ。

あとは木の葉形の図形の正方形の57パーセントについても質問いただきましたが(正方形の対角線上の頂点二つから四分円をふたつ描いてみます、するとサツマイモのような木の葉のような形が浮かび上がるかと思います)これはどちらでもいいですね、6年生の2月1日まで覚えていれば暗記してもとりあえずはいいのではないでしょうか。

ちなみに僕は覚えていません(汗)57%だか56だか58だか・・・たまに忘れます。
他にもいろいろあるかもしれませんが、とりあえず頂いた質問に関してはこれくらいですかね。

計算式というのは計算そのものを早くするために暗記しろというものでもないと思います。よりその効果が発揮されるのは上の例題のような場合ではなく文章題などで出会った時なのです。


計算を早くするために暗記は必要なのか、再度まとめます。

暗記するくらい演習すればそれで十分です。
暗記しておいてそれを日ごろから使いこなし、何か月か経過しても忘れないくらい定着すればそれが理想の一つかもしれませんね。

一番大切なことは訓練することです。それを理解していれば暗記してもいいんじゃないでしょうか。


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ここまで来ると、すごいと思います

もう一つの例題を取り上げます。

指導している子供の土曜日の演習プリントを見たらいつもよりとてもできが悪かったんです。最近の定期テストも過去最悪の成績をとってきていたので僕はとても心配して、いつもは指導中にその演習プリントを扱うことはないのですが今回ばかりはちゃんと理解しているのか確認しました。

その時の問題です。多少文面が違いますが。

二問です。

A,B,C,D,Eの五つの整数があります。五つの数の和は119です。
AとBの大きさの比は4:5です。CはEの半分の大きさです。CとEの和とD乃比は6:7です。
AとEの数を求めよ。


太郎君と次郎君はドングリを拾いました。太郎君の拾ったドングリは次郎君の9倍より27個少ないです。次朗君だけがさらに拾いました。次朗君の拾った数の3倍と太郎君の拾った数は等しくなりました。太郎君と次郎君のはじめに拾ったどんぐりの個数を求めなさい。


ほかにもいくつかあったのですがとりあえずこの子と確認した問題の内の二問取り上げました。

なんでこのレベルを間違えた???

というのはこの子であれば解けるであろうと思ったからです。また学力が低下する、というのは実はあります。

それを低下というのかは言葉遣いが非常に難しいですが。簡単にいえば今は今まで学習した単元の総まとめの時期、つまり各週ごとの単元として取り上げられていた時は解けても何カ月もたった今は解けない、正確には解法を忘れた、(以前学習したときに理解していない、という可能性もあります)ということです。

この子も最近精神的に状態が良くなかったので、いろいろ推測してたんですが。


ですが、話をもう少し聞いてみると・・・。

これを一分で解けといわれたらしいです。

「はい?」

僕は思わず聞き返しましたが、確かに解説した問題量と授業時間を考えれば1題1分じゃないと確かに・・・。おいおいホントかよ。


ためしに挑戦。「んじゃあ僕もやってみるから計ってみて」そう子供にいました。


そうしたら上に挙げた1問目はあえなく1分以内にはできませんでした。次の問題は何とかできましたが・・・。まあ、検算や確かめなどする暇もありません。

授業でも1問1問計って生徒に確認しても解けた子はほとんどいなかったそうです。ほぼ皆無だったそうで。

うーん、どういう意図が・・・・?

この子には解けるレベルでも1分は・・いくらなんでもやり過ぎだろう、ほとんど解けていない理由がわかりました。

どうやら、その日はいつもと違い臨時の講師が担当したそうです。

なんでも普段は関西の進学塾での指導をしているそうでその日は臨時でクラスを受け持ったそうです。だから解けない子供たちに「皆さんふざけてるんですか!?」と言っていたそうです。

本音か、作戦か・・・。

うーん関西の子供はこんなに早いのか・・・・。やはり社会をやらない分、算数への指導が進んでいるんでしょうか?

それにしてもすごい、ビックリしました。まあ、できないこともないだろうけど、なかなかしんどいだろうなあと。


それともただのパフォーマンスですかね。塾の講師にはそういうのも必要ですからね。たった一回の指導を有意義な緊張感のあるものにしようと考えての事なのか、わかりませんけどね。


これもひたすら反復演習しないと1分じゃ無理でしょうね。
っていうか僕できなかったし・・・。

あははっははい、だってさあーちょっと考えるじゃんさー、そりゃね僕だってねーいつも生徒にね、早くやれってみんなに言うけどさー、自分そんなこと言われたらさあー緊張すんじゃんよ、そんな1分なんて言われたら、とまあそんな気分でした。


簡単な計算をやるのとおんなじで、これは読みながらどんどこ書いて計算していかないと無理だと思うのですよ。

確かにこれをそんな短時間で解かせるというのはやや行き過ぎなくらい詰め込みに映りますが、それは僕が関東の人間だからかもしれませんね。向こうには向こうの常識があるので、こんなことで驚いている僕が非常識で無知、ということかもしれません。

向うの先生方に笑われたらどうしよう(笑)

関西には三科目受験の灘がありますからね。

昨日は開成の問題でも解いてみればと言いましたが、1問ごとの難度はどうあれ総合的にはこちらの方が合格するのは大変ですからね。

あ、でもこれは関東の偏差値だからなのかな。

実は関西では灘より開成の方が高かったりして・・・さすがにそれはないかな。


と、いろいろ考えてしまいました。とても興味深いですね。


もはや昨日まで話していた詰め込みがどうのこうのなんて言うレベルじゃない気がするんですけどね、この問題を1分以内なんて。

徹底的な訓練の賜物でしょうね。


実際本番で1分以内でなくともいいのでしょうが、ある程度のレベルの問題をそのくらいのスピードで解けないと十分に試験問題に取り組むことができない、そういうことはあるでしょうね。

根性ですよ根性。いつもの事だけど。
次はこんなことで驚かないように頑張んないと。


とまあですね、詰め込みがいいか悪いか知りませんが。

僕はですね、詰め込みますよ、早くなれば時間の効率化も図れるし、指導中の無駄も減ると思うのです。

僕は原則予習できないですからね、その日に何を解説するかは大抵わかりません。だからいつ何時もぱパッと出るよう引き出しを増やさないと。

学習することで

だからこれを僕は一分といわずに45秒、30秒を目指して頑張ります。
ええ、馬鹿だと思う人はどうぞ構いません、でも仕事である以上僕は教育上の理論がどうあれ頑張ります。速いに越したことはないと思うので。

結局結論は昨日言ってしまったのですが、こういう出来事も計算演習の積み重ねで行われていることなのだな、そう思ったので取り上げてみました。


ええ、なんで、ただそれだけの話でした・・・・。



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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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