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朝日新聞5月31日の問題 回答と解説

さて昨日の問題の解説をしてみたいと思います。

(1)
5を掛けて回文数なので5の倍数ですね。5の倍数の条件は一の位が0か5の時です。回文数の条件は整数を対象に並べることなので一の位に0が来ると百の位も0になり条件に当てはまりません。なので考えられる数は5□5となります。そして最も大きいので10の位に9を入れて出来上がり。

訂正です!!!(この記事を書いた後に直しました)
えと5をかけると回文数になるんだから最後に÷5忘れてました!
595÷5=119

答え119

(2)
15で割れるということは、はいここでも素因数分解→15=3×5より3でも5でも割り切れますね。ということは5の倍数の条件を満たすためにやはりまた5□5でなくてはいけません。3の倍数の条件は各桁の和が3の倍数であればいいので順に□に数字を入れていきます。
595→ダメ。
585→割り切れます。

答え585

(3)
ここまで来るとすんなりいくと思います。15で割れる4ケタの数なので5□□5になるというのは大丈夫でしょうか?あとは回文数の条件を満たすために□にはそれぞれ同じ数が入りなおかつ3の倍数であればいいわけですね。


訂正2(この記事を書いた後に直しました!!)

あのう、すいません、大事なこと忘れてました。商がまた回文数にならないといけなかったんだ・・・。
いや、あのすいません、もっかい問題読めって話ですよね。他で文章をまとめていたので問題がうろ覚えでした、混乱させてしまいほんとすいません。
ええと続けます。


5995→ダメ
5885→ダメ
5775→割り切れます。385
5665→ダメ
5555→ダメ
5445→割り切れます。363 回文数
5335→ダメ
5225→ダメ
5115→割り切れます。341

答え5445・・・です!


とりあえず2,3,4,5、6,7,9の倍数の条件は覚えておきたいですね。ついで素因数分解を利用することも慣れておきたいです。

まずは回文数という言葉に惑わされないことですね。ここで「こんな言葉聞いたこともないから無理!」なんてならないように。わからなくてもいいので取り組む、こういう姿勢がほしいです。その姿勢があるかどうかで上位の子と下位の子でははっきり分かれますね。要は問題への積極性、能動性でしょうか。
こういうのはどうすれば育つでしょうかね?
とても難しい問題ですが、やはり大人がそばでしっかり励ましてあげて、頑張ればできる
、ということを本人が自覚できるまで見守ってあげることかもしれません。

もちろんこの難易度であればひょっとしたら親のほうもすぐには解けないかもしれませんがそれは気にすることはないと思います。
そんなことより重要なのは昨日も言ったように、知らないこと、わからないこと、未知なるものに対して、尻込みせず取り組める子どもになるよう育児をしていくことだと思います。


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朝日新聞5月31日の問題



洗足学園の問題です。これたしか日能研の電車の広告に掲載されていた問題ですね。取り上げやすいのかな?ということでここでも紹介してみました。日能研の電車の問題ってけっこう難問ありますよね。社会とかたまに意味分かんないし・・・「なんだよこの問題・・・んなこと聞くなよ」ってそんなこと言っちゃあだめですね。出題者に怒られます。

算数なんてやっぱ難問多くて毎回鉛筆と紙ほしいです。

さて、単元は条件整理に入るでしょうか。

問題
99,121,2442,23432のように「左から読んでも右から読んでも同じ整数」を回文数ということにします。このとき次の問いに答えなさい。

(1) 5を掛けると回文数になる3桁の整数のうち、最も大きい数をお求めなさい。

(2) 15で割り切れる3桁の回文数の中で最も大きい数を求めなさい。

(3) 15で割り切れ、その商が回文数になる4けたの回文数を求めなさい。

以上



条件整理は創造性と不測の事態にどれだけ対応できるか、これが重要だと思います。

僕は経験ないから何とも言えませんが高校受験や大学受験でも出題される問題というのは年々変化し続けるのでしょうか。少なくとも中学受験は変化していきますね、その中で扱いにくいのが立体図形と条件整理ですね、あ、個人的にです。すると創造性と不測の事態への対応と、二つの要素がかなり重要になってくると思います。


ええと、だから上のような問題は手さぐりにすすみながら最終到達地点に辿り着く、そう解いていくことになると思います。だから普段学習する時も、わかんないからすぐ解法をみて確認というより、合っていなくてもいいから最低限自分の考えを持った上で答えと自分の考えを照らし合わせるのがいいと思います。


塾ではたいてい指導する時、授業する側が予習をしておくと思いますがこの手の問題は教わる側は取り組み方に気をつけたいですね。というのは解法は当然スマートに収まっているのですがそれは結果論であり、実際ぶち当たった子供たちはそううまくいくことはあまりないんじゃないかなと思います。

もちろん過去に出てきた問題であれば別ですが、どちらかといえば新たな形の問題のほうが多いですね。基本的にはコンセプトが「不測の事態にどう対応してくるか」ということで出題されていると思います。

正解するにしてもあらかじめ青写真ができて「ああ、こう解くんだな」と最後の答えまで見えている子はそういないと思います。
そういう子は、まあ置いといて、できれば「こういう問題は初めて見た」けれども解けるような子供になってほしいと思います。


この問題であればまずは(1)の5の倍数。すぐ見当つくでしょうか?できる限り大きいんですが先入観にとらわれると999から探そうとと思う子供もいるかもしれませんね。

とりあえず、(1)、(2)が予行演習で(3)が本番というところでしょうか。

洗足学園の過去問はちゃんと見たことないのでこの問題がどれくらいの立ち位置かわかりませんが。


さあ、解説は又明日にします。 

まあ、大体は上に書いたことなんですけど、どうだろ伝わるかな。



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海城中、サピオープンテスト 答えと解説

答えいきましょうか。 今日は解説がうまくできるか心配です・・・。


(1)

問題に従い四捨五入して計算してみると、27→30、62→60となるので

30+a+b+60=170より
170-90=80=a+bとなります。

ここからもうほとんど感覚的になりますね、27と62の間の二つの数で四捨五入した二数の和が80、そして差が9というと35と45くらいと見当つくか否か・・・。

(おい、説明になってねーだろ!といわれそうですがこの感覚が算数ではけっこう大事なんですね。僕もはじめのうちはこういう類の問題に対して解法のとっかかりがないものかと苦労しましたが全くないわけでもないんですね。基本的な問題を積み重ねることで見たこともない問題への突破口や創造力というのは確かに身に付きます。豊かな思考回路を作りだすのはやはり基本の積み重ねだと思います。)

順序として、
aがどうなるのか絞っていきます。

aが四捨五入して30になるのであればaは28~34となります。bはそれより9大きい37~43になるはずです。でもこの範囲の数は四捨五入してもすべて40です。
aが30になるならbは四捨五入したとき50にならなくてはa+b=80になりません。

なのでaが四捨五入して30の可能性は消えるので次は40で調べます。

aの範囲は35~44となります。そうするとbは44~53となります。さらに四捨五入したときにbは40にならなくてはいけません。そうするとその条件を満たすbは、45以上だとしたら四捨五入したときに50となるので44しかありません。bが決まるとaはそれより9小さい35となります。

答え a 35 b 44


つまりここまでの流れをどれだけ素早くできるのか、慣れてくると大体の範囲として書き出したりしなくても感覚的にaは35くらい、bは45くらいかな、と見当つくと思います。


(2)

さて、こちらの解説も難しい(笑)解説では線分図が書いてありますが、文字だけで頑張って解説していきます。

整数Aから7を引いた数が16で割れる、つまりA-7が16の倍数だとすると、それよりも16大きい数も16の倍数になりますね。ということはA-7+16=A+9(問題分の整数Aに9を足した数)となります。そしてそのA+9が12で割れると言っているのですから、A+9は12でも16でも割れる数ということになり、この数は12と16の最小公倍数の48の倍数になります。そして次に該当する整数Aは48先です。前のラサールの問題でも話したように「12でわれる、16でわれる」を言われたらその最小公倍数ごとに条件に当てはまる数が出てきます。

ここまで大丈夫でしょうか?うまく解説できてるかな(汗)。


なので整数Aの三ケタの最小の数は48×3-9=135になります。×3は感覚的です。式を立てるならば100÷48=2余り4→48×(2+1)-9となります。48の倍数なので数えていってもいいでしょう→39、87、135・・・・と。

次に三ケタの最大数をさがします。1000÷48=20余り40→48の倍数の20番目は48×20もしくは1000-40=960になります(このケースはどっちでもいいですが普段は余りを利用すると早いかもしれません)整数Aは→960-9=951です。

この際必ずもうもう一つ大きい数も確認しましょう。そうすると951+48=999となりこの数も条件に当てはまります。

じゃあ全部で何個か。求め方はいくつかあると思いますが、二つほどあげてみます。
(999-135)÷48+1=19


もしくは整数Aに当てはまる数は二けたから数えると
135は3番目、48×3-9
999は21番目、48×21-9 
となるので
21-3+1=19

となります。
どちらにしても最後の+1を必ず忘れないように。なぜそうなるのか子供がきちんと理解しておく必要があります。(例えば1から10まで数字を数えると10個あります。差は9ですが個数は差より1大きい10個です。式で表現すると10-1+1=10個となりますね)とても基本的なことですがあいまいにしている子供は少なくないので気をつけたいです。

答え19個


問題の割に説明が長くなりました。なにより説明がわかりづらい(回りくどい?というのかな)ですし、理解力、思考力が必要な問題だと思います。特殊算のような「解法覚えれば、はいそれでよし」というわけにはいかないです。考える力、というのがないと類題に挑戦してもおそらく解けないでしょう。もちろん特殊算も複雑なものも多く存在しますが。

特殊算や数論、どちらにせよ言えるのは国語力がキーワードになります。そして以前も言ったようにこの力は生まれてからのこれまでの人生の読書量、思考時間量に比例すると思います。

幼いころは例えばプレスクールという形で具体的な技術を磨くよりも日頃の習慣として読書させたり、考えさせたりして、対話したり、そういうさまざま習慣が身に付いている子供のほうが後で伸びやすい、と思います。技術的なものは中身が詰まっているとすぐに整えやすいんですね。

見ていて思うのは国語の力がある子は教えやすいです。そしてそういう子供は自分が算数に苦手意識を持っていても必ず伸びますね。


ああ疲れた。

今日は以上です。


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海城中と第二回サピオープンテストの問題。 条件整理と推理・数論

ちょっとおもしろい問題なので取り上げてみようかなと、違う場所から拾ってきました。
またまた朝日新聞と、もうひとつもまたまたサピのオープンテストです。



いかにも算数という問題です。敢えて言えば推理・・・かな。二題目のほうは、一見とっかかりがなさそうですが、一応解法があります。なので条件整理のようで数の性質に入ると思います。

でもこの単元わけは僕の独断なので、高名な先生方に見られたらおもっきし突っ込まれるかもしれません、・・・まあ、そこら辺はブログということで勘弁して下さい。

ハイ、ではいきます。



一問目

次のように小さい順に並んだ整数があります。

27、a、b、62

四つの整数の一の位を四捨五入して、すべて加えると170になり、bからaをひくと9になります。 aを求めなさい。

海城中 2008



二問目

整数Aに9をたしてから12で割ったら割り切れました。また、整数Aから7を引いてから16で割っても割り切れました。整数Aとして考えられる数のうち、3桁の数は全部で何個ありますか。

サピオープンテスト ④ (2)から


1問目はどうなんでしょう?ただ条件にあてはめて行けばたどり着くと思います。これといった解法というものはないと思います。
2問目は数の性質で習う最小公倍数の発展問題といえると思います。これは解放を知らないと相当時間がかかるかもしれません。まず3桁でなくとも条件に当てはまるような数が探せるかどうかです。




海城というのはバランスよくいろいろな問題出題しますね。難問もほぼ毎年出題されますし、合格者平均点と問題を照らし合わせると、算数が得意じゃないと厳しいと思います。偏差値以上の力が必要な気がいつもします。まあ、二回目募集はやはり高いですよね。

二問目のほうは、もはや珍しい問題ではなくなってきたんでしょうか、類題はよく見かけますから。


さあさあ、実際子供たちの正答率はどうだったんだろう?第一回目の平均点を考えるとおそらく10パーセントを切っているのではと予想しているんですが。



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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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