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表現できない数を想像する



前回の問題の答えと解説です。


答え  できる

理由   三角柱の底面積は直角二等辺三角形なので20㎝を底辺としたら高さは10cmになる。よって三角柱の底面積は20×10÷2=100平方㎝となる。
    この底面を辺の短いほう(aとする)で底面積をあらわすとa×a÷2=100なのでa×a=200となる。つまりaは14と15㎝の間であり、三角柱の高さも15㎝より低いことがわかる。(問題文よりaと等しいことがわかります)
     

     立方体の底面積は一辺が15㎝の正方形であるので15>aより、この三角柱を横に倒して、側面の正方形を立方体の底面に触れるようにすれば入れることができる。


細かく書こうとすればもっと説明は必要ですね。また小学生では定理とか公理とか、定義何かがあいまいです。最後の二行とかはなくてもいいでしょう。書いくと余計わかりづらいかもしれません(汗)
どこまでの答えが正確になるかは学校によりけりでしょう。

三角柱のというのは柱なので、底面と上の面の形が変わらない状態で置いた時で話を進めています。なので底面は直角二等辺三角形の部分になります。見取り図を描けばわかるのですがこの三角柱の側面は長さがaの正方形なんですね。女子学院の問題ではそれが(1)としてありました。



中学受験では平方数というのがよく登場します。
1×1、2×2、3×3などで
数列でいうと1、4、9、16、25・・・と続くやつです。
 
この問題のように□×□=200のように□が整数であらわされない問題というのも存在します。数学でいえば根号を使えばいいことなのですがルートは当然駄目です。

ですが、200というのはどれくらいの大きさのものを二回掛けたのかイメージできるようになる必要はあります。14×14が196で15×15が225なのでaは14と15の間ということになるのです。

このような問題では表現できない数に対して抵抗なく取り組めるかというのも重要な要素でしょうね。



最も出題頻度が高いと思われるのが、半径は求められないが半径×半径は求められるという問題でしょうか。うーん、これだけじゃ伝わりづらいですね。

また文章で説明するのでちょっと考えてみてください。

1、円を書きます。

2、その中に直径を対角線とした正方形を描きます。

3、その正方形の一辺を10㎝とします。


この図形の円の面積を求める問題というのが一般的なんじゃないでしょうか。

ちなみに答えは157平方㎝です(円周率は3.14)。




この平方数の話を円ではなく、正方形でしかも立体図形で出題してきたというところが女子学院の一味違うところなんじゃないでしょうか。

そういうちょっとしたひねりを加えるところがいいですよね、センス良いな、なんて思うんですけど。

まあ、ぼくなんかは以前であれば(半径はわからないけど半径×半径を利用して解く)という問題は「ルートが使えないからって強引だな、どう考えても小学生が解くべき問題じゃない」と、思ったりしたもんですが慣れって怖いですね、今は別に何も感じません(笑)。

平面図形を学習する際に必ず出てくるので中学受験では必須知識の一つかもしれません。



図形の問題というと、感覚的な能力、つまりセンスが問われるのでは?と考える人は少なくないかもしれません。

その点について考えていることを書いてみようかなと思います。


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立体図形 〰説明力を問う問題〰

ええ、いつまでも落ち込んでいられないので、とりあえず問題でも載せてみました。10月25日の朝日新聞からです。

去年の女子学院からの出題です。
JGですよ、JG。

あ、別に深い意味はありません。
何となく波に遅れたくなくて如何にも知った風に言ってみただけです。


図形の問題なのですが、問われている能力はそれだけではないようです。


今日は少し改題してみました。


ひとつは図を載せるのがめんどくさいのと、文章だけになると男子校などでは出題されそうな気もしたからです。

当然文章だけになれば難易度はかなり上がると思います。おそらく大人が思う以上に解けなくなる子供は増えるんじゃないでしょうか。

ではいきます。


問題

底面が直角二等辺三角形の三角柱があります。また底面の長いほうの辺は20センチになっています。高さは底面の短いほうの辺の長さと等しくなっています。

この三角柱を一辺が15センチの立方体の箱に入れて蓋をしっかり締めることができかどうか、できるか、できないか、理由をつけて説明しなさい。
なお立方体の厚さは考えないものとし、ふたは立方体の面の一つとします。



どうでしょうか。

おお、問題を作ってみました。女子学院の改題だけど。

これは良問でしょうか・・・自分で言うのもなんですがあんまりそういう気がしません。

ジャンルが分からないです。数学的な能力を求める学校ではいかにも出題してきそうだし、かといって栄光学園や数学オリンピック系でもありなんじゃないかなと思っています。


合不合で出題されたら中盤に出題されていても正答率は10パーセントはいかないのではと想像しています。

いっつもそう言う割に当たるも八卦という感じですが(汗)
実際やらせてみないとわKらにですしね。

中学生ではルートが使えますね。でも当然駄目です。

まあでもそれに近い話は避けられない気もします。


どんな答えがいいんでしょうかね~。

僕なりにも考えてみます。わかりやすく書けるといいんですが。

あ、次回の解説も図なしでいきますよ。
んだから読みにくい文章になると思いますよ・・・・先に断っておきます。



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立体図形その3 すすめてみます、参考書

立体図形の参考書で先日ああ、これはいいのかもな、と思ったものがあります。

ええと、続受験算数の裏技テクニックというやつです。


このシリーズの本はいくつか目を通したことがあるのですが、結構どこの家でも置いてありますね。あとはドラえもんシリーズもよく見かけます。


内容としては、どうでしょう塾の授業を聞いていればそんなに目新しいこともないと思いますが、詳しくは書いてあると思います。あとは裏ワザという風になると、とっつきやすい人もいるのかもしれません。「裏ワザ」というのは数学と算数は違うんだよ、と、そういう意味が込められているかもしれませんね。

子供が学習出来れば理想的ですが、大人が指導するにも使えそうですね。ああ、子供たちはこう考えるんだ、と気づくことができるかもしれません。


算数のすべてを網羅しているわけではないので、「~~算」が苦手だからこれで強化しよう、そんな使い方がいいと思います。

まあ、受験算数すべてを基礎から最難関まで網羅しようとしたらそれこそ電話帳並みの分厚さで何冊か用意しないとっていう話ですね。

この本は基本的なことしか書いてありません。しかし基本を理解できれば応用題というのは自力でどんどん解けていくものなので、やはりこの一冊をよくよく熟読するというのは大事な基礎を養い、それしだいでは応用力も身につくかもしれません。

実際、僕は指導中使うことはなかったし、今後もないでしょうね。大体書いてあることは概ね言いたいことと逸れていないし、指導方法というか考え方も、受験算数という枠で見れば裏ワザでもなく、ごくごくまっとうなことが書いてあると思います。


だから趣味の読み物という扱いで「これですごいできるようになった」と思いこみ過ぎないよう注意したいです。この本で理解したことを実践して初めて力になると考えたほうがいいと思います。


立体図形に関しても基本なのですがとても重要なことが書かれています。

立体を切断する際の性質とでも言うのでしょうか、基本的な考え方が丁寧に書いてあります。実物で実験するのもいいですが、移動中などでこの本を読んで立体図形の切断がかなり理解できる子供もいるかもしれません。

繰り返しですがこの本に載っているレベルが直接本番では出ませんよ、ただ単元を学習する前段階の内容としてはいいと思います。6年生でも苦手な子供は読んでみると理解するきっかけになるかもしれません。


と、今日は少し参考書の紹介をしてみました。紹介というほどでもないですね、すごい独断的な意見になりました。

僕なんかはね、大変だとは思うんですが、保護者がこういうのを読んで子供に指導する、というのも楽しいような気がするのですが、まあ、実際受験生の親ではないのでいい加減なことは言えませんが。


さあて、前回の問題の答えを簡単に。

(1)、(2)ともに出来上がる立体は正八面体です。(2)は想像するのが難しいかもしれません。正四面体の各頂点を切断すると倒れた感じの正八面体ができます。

立体の体積は複雑に立体になった時は、①分解するか②大きい立体から小さい立体を引く、その二つのどちらかで求めます。
どうしよう、どうしよう、とやみくもに考えずにとそうやって考え方のアプローチを狭めることも重要でしょうね。
だからどんな応用題だったり奇抜な問題でも、何もない大海原を進むのではなくやはり方角がある程度は選択されているわけです。

実はそれを意識して問題に取り組むかどうかというのは随分違います。学力の伸びのも、成績にも影響します。
これはなかなかうまく表現できませんが、また、ね、他の具体例があった時に話せたらいいですね。

(1)からみてみましょうか

(1) の体積は底面積が元の正方形(立方体の一面の)の半分になります。高さは
二つ合わせて立方体と同じなので計算の上ではまとめましょう。もとの立方体の一片を①とおくとこの正八面体は①×①÷2×①÷3=6分の1となります。

答え 正八面体 6分の1倍


(2) の体積は比の問題です。切り取った三角錐と、もとの三角錐(正四面体)の体積
は1×1×1:2×2×2=1:8となります。じゃあ最初の三角錐と残った正八面体の体積比は8:8-1-1-1-1=8:4=2:1です。

答え 正八面体  2分の1倍


図がない分わかりづらいとは思いますが一応基本的なことに触れてみました。

昔じゃこのレベルの問題は画期的な問題だったかもしれませんが今じゃ基礎知識でしょうか、そんな気がします。普通どこの塾のテキストでも解くでしょうね。イヤーぶっちゃけ応用題とかほんと難しいですよね、たまに出題者の答えも間違っていることもあるし、それだけ難度の高い問題が多いと思いえますね。

ということで、今回は立体図形に関して書いてみました。



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立体図形 その2 正~面体




立体図形にも当然知識というのが必要なんですがいくつか覚えておきたいことというのはあります。

算数は「センス」という人もいるかもしれませんが、そもそもそのセンスというのは鍛錬を重ねてこそ身につくものだと思います。遺伝や先天的なものとは違うと思います。好き嫌いは別としてですよ。

算数というのも暗記の要素は結構あるんじゃないでしょうか。

受験算数の世界というのは、というか数学というのは、暗記した知識を利用して解き進めるという点では、社会とかとあまり変わりはないかもしれませんね。


さて、ちょっと問題を、簡単な質問です。

(1)立方体の各面の中心を内部で結ぶとどんな立体ができますか?またその立体は元の立方体の何倍ですか?


(2)正四面体A-BCDがあります。各頂点から各辺の中点を結び三角錐を四か所切り落とします。残る立体はどんな形をしていますか?また残った立体は元の図形の何倍の体積ですか?


ええ、相変わらず図形を提示できないヘタレな私ですが、どうでしょうか?通じますか(汗)
どちらも毎年、日本中どっかの私立学校で必ず出題されてるであろう問題です。

いや、普通だったら図は・・・あると思います・・・・。まあ図がない分難易度アップいうことで(笑)ええと・・・また、もし意味が通じませんでしたら是非質問してください。
出題している本人が正確に文章にできているかドキドキです。


だから解説も簡単になると思いますが、どんな感じになるのかちょっと想像してみてください。


知ってる人は早いでしょうね~。受験を終えた中1の生徒はこんなの簡単~なんて子もたくさんいそうです。

と、いうことは今の小学生にもぜひできるようになってほしいですね。




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立体図形

立体図形


受験の難関単元の一つです。
パソコン並みに日進月歩の単元でしょうね。年々進化しています、という表現がいいのでしょうか。いろいろな学校でいろいろな個性的な問題が出題される単元です。
実際どうなんでしょう?高校、大学では出てくるんでしょうか、あまり記憶にないですね。
また仮に出てきたとしても、もっと論理性の強いものだと思います。様々な公式を利用した。少し中学受験の方向性とは違うようです。

大人が子供に教えるのが大変な単元でもありますね。


思考力のほかにもう一つ昨今の中学受験生に求められる空間把握能力。

たいていどこの塾でも本格的に学習するのは6年生に上がってからです。それだけそれまでの学習内容の最終形態の意味を帯びているんですね。

分数を学び、そして割合を学びつぎに比、ここまで学習したら今度は平面図形の相似を学習します。
そしてこれらを一通り終えてからやっとこさ立体図形に入るわけですね。

ただ、これらを学習する前に立体図形を学ぶことは可能ですね。実際に簡単なことは4,5年生、もしくは低学年からでも扱っているところはあるようです。


以前どこかのブログを覗いている時に展開図が正方形になる三角錐の話題が載っていました。そしてなぜそうなるのか、それを子供に説明するのに非常に苦心しているといった旨だったと思います。


こんなこと言ったら反感買いそうですが(汗)とりあえずロジカルに説明しようという概念から離れる必要がある、と思いますね。

僕は普段この説明を求められる時にめったになぜそうなるのか説明しません。

現物作らせて終わりです。

実はこれで納得しない子には出会ったことはありません。
「ああ、そうか、そうだね」で早ければそれで終わりですね。

立体図形の難解さの理由の一つに圧倒的な経験知不足がありますね。これは上に挙げたように最終形態なのでどうしても学習内容の後ろに回るからです。

だからまずは積極的に目で見える形で触れさせる必要がある、と考えています。
経験していないからいまいち口でいわれてもイメージがわかない、そんな子供が多いです。
論理的な説明、というかそもそも説明が必要な場合、これは学力の高い子供のほうが多いでしょう、だから数学的な証明でもある程度くらいついてくるし「わかった」と言えるまでになる子はいると思います。ただ実際ちょっと形を変えると対応できなくなる場合が多いです。やはりピンとこないんですね。
比がわからなくても想像してこういう形になる、これは感覚的に納得できるようになると思います。だからあまり学年は関係ないと思います。

「なぜそうなるのか、意味を教えなければ定着しないのでは?」これはその通りですね。通常の場合それは忘れてはいけないでしょう。ただ僕は立体図形に関しては例外の一つだと思います。これはとても難しい、と思います。論理的な思考力に相当卓越した子供でなければ数学的な証明は本当の意味では理解できないと、考えています。

受験では駒東など数学的な要素が強いですが、栄光や麻布ではむしろ逆でしょうね、論理的に立ち向かおうとすると痛い目にあうような問題が多いです。もっと感覚的に「ああ、そうか!」と感動するような、何か説明できないんだけどわかった、そんな問題が多いと思います。だから栄光の問題なのはとても難しい。説明したり、対策を立てるのが本当に難しい学校だと思います。特に栄光・・・・。中学受験の最高峰と言えるかもしれませんね、しかしあのさらっとした食いつきやすい文章が本当にいやらしいです(笑)。

僕は1+1がなぜ2になるのか、自信を持って説明することができません。せいぜいいろいろな例をあげて説明するのが精いっぱいでしょう。簡単な話ほどその原理を明らかにすることは難しいと思います。

立体図形の構造を説明するのはとても難しいです。もちろん昨今の複雑な立体に関しては論理的に説明して納得、理解させる必要がある立体も多いです。

その前段階として、理屈じゃ説明できない「感覚的に当り前」と理解しておきたい基礎知識というのがいくつか存在すると思います。

実は上にあげた三角錐の展開図が正方形になる図形、もう受験生にとっては常識にしておかなければいけない重要な図形なんですね。今はこれを利用した応用問題も多数存在します。これはなぜそうなるのかの説明より、「こうなるに決まっている」と、理解させるのが先決、だと考えています。


びっくりしたのですがサピックスでは「キューブ」というのが手に入るそうですね、今年からかな。

卒業生の親が考案したそうで。これは本当に画期的ですね。余計な時間をかけず基本的な立体図形の知識を学べるとてもいいアイテムだと思います。どこの校舎でも手に入るんでしょうかね?すいませんそこまでは知りませんが。


ただ、豆腐の切断(食べ物はあまりやってはいけないかもしれませんが)、粘土の切断、紙での工作、結構身に付けるための手段はあると思います。


しかし悲しいかな6年生にはなかなかそんな暇がない・・・・。

でも最難関を受ける子供で立体図形が苦手な子供の場合は絶対に「どうにかしなきゃ!」でしょう。6年生でも。

そうなると受験勉強を本格的に始める前から、覚えられると理想的ですね。別に比などを利用した計算は後でじっくり学べばいいわけです。その前に様々な図形に対して柔軟な思考力を身につけておくと、後が楽だと思います。

もう少し、せっかくだから問題を取り上げつつ話をしてみましょうかね。





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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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