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武蔵中 2009年 3番 答え 解説

前回の解説と答えです。

書かれている文章を具現化することが出来るかどうか、第一段階だと思います。
いつものように図はかけないので長い解説になりますが・・・進めていきます。

横の長さが分かっているので50センチであれば横に
600÷50=12
600÷30=20枚ずつ並べていくことが出来ます。使ったタイルが228枚なのでそれらを式にまとめると
12×X+20×Y=228というのを作ることが出来ます。・・・①
次の文章に関しても同様に式を立てると
600÷40=15
600÷30=20より
15×X+20×Y=220というのが作ることが出来ます。・・・②

あとは①、②の両方を成り立たせる共通の数を探していくだけです。といってもまだちょっとぴんとこないかもしれませんので、とりあえず当てはまる数を調べていきます。
① に関して
X 19 14 9 4    
Y 0  3  6 9

見て分かるようにXの減り方とYの増え方には規則があります。最小公倍数を使いましょう。つまり約数倍数で何気なく学習していることが使えるわけです。応用題では複数の単元の知識を使う問題ばかりです。(まあ、これは使うというほどのことではないですが)

② は
X 0  4 8 12
Y 11 8 5 2
 
ですね。
ちなみにこっちはYから減らしていきました。別に理由はないです、目に付いた数が割り切れたかどうかで赴くままに書いています。これも昔難度か計算の話で取り上げましたが計算力というのはあるに越したことはないですし、それ相応の思考力に計算力が追いついていないともったいないです。

CPUとメモリの関係といえばいいのかな、おお、これはいいたとえではないですか。
計算と思考力の関係はそんな感じで捉えてもらえればです。「おい、よくわかんねーよ」って人はスルーしてください。僕も適当に言ってみただけなので。

さて、共通の数とはどういうことでしょうか。X、Yが0の場合は条件外なので抜きにしてたとえばですね①の二番目の14、3.つまりこれは縦においてですね50センチが14枚と30センチが3枚並んでいる状態だということです。そこから縦の長さを計算してみると

14×50+3×30=790となるわけです。あとはそれと共通する数が②のほうにあるのか調べていけばいいわけです。
整理すると

14、3 → 790センチ
9、6 → 630センチ
4,9 → 470センチ


4、8 → 400センチ  
8、5 → 470セン
12、2 → 540センチ


はい、と言うことで共通の数は470センチです。
つまり縦が470センチのときだけ、問題文の条件を満たすことが出来るといい変えられます。

はい、ということで答えは470センチ。

答え4.7m




去年取り上げた武蔵の問題は1番だったということもありかなりやさしい問題でした。
しかし今回のは3番。それなりに骨があります。
すぐに「数の定まらない鶴亀算」(つまり不定方程式)だということが出てくればあとは早いかもしれません。 


武蔵は麻布開成と比べると偏差値の上ではどうしても下がりますね 。早稲田、早実、慶応普通部、海城らと団子状態です。


去年と今年でどれくらい問題レベルに変化あるのでしょう?全部見てないんで分かりませんが、こういう傾向が定まっていない学校は過去問研究して注意したいですね。


ああ、体調がいまいちです。

解説もやや雑な感じがしないでもないですが、疲れたので今日はここら辺で。

あ、ちゃんと見直してないんで、何か間違いあったらご一報を・・・・。


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武蔵中 2009年 3 ~中数から~

若干体調も良くなりつつあります。
このまま正常になるといいのですが。


今日は問題を載せてみます。
武蔵中から。
去年の問題と比べると平易な問題から御三家に相応しい問題に難易度が戻った感があります。

2009年度の3番、中学への算数では要(?)の問題として取り上げられています。
合否の分かれ目になったかもしれないということでしょうか。

問題

横の長さが6メートルの長方形の部屋の床に正方形のタイルを敷き詰めます。横の辺に平行な直線で床を二つの長方形に切り分けて、一方には1辺50cmのタイルを敷き、もう一方には1辺30センチのタイルを床全体に敷き詰めます。このとき使うタイルは全部で228枚です。
 また直線を横の辺に平行なままずらして、床を前とは別の2つの長方形に分けて、一方には40cmのタイルを敷き、もう一方には1辺が30㎝のタイルを敷いても由佳全体に敷き詰められます。このときに使うタイルは合計220枚です。
 部屋の縦の長さは何mですか?



さて今回は中枢に掲載されているアドバイスというかポイントを載せてみようかと思います。「整数条件を考えながら、答えを見つけだす問題です。問題を見切ると、基本を二回繰り返すだけ」
と、あっさりですが新6年生のほとんどの子供には厳しいでしょう。(何せ上位者向けに書かれている言葉ですから。)

どういう部分にひらめきが必要で、どういう部分において演習量がものを言うか考えて欲しいです。

やりかたを見つけるまではひらめきかもしれません、ただそもそも解法が頭に入っていないと、やり方を見つけようがないです。

見つけようがないわけではないのですが、本番中に手探りでやり出したら、下手すれば20分以上費やすことになりかねません。なのでやはり解法を暗記するくらい訓練を重ねる必要はあるでしょう。

今の時期であれば「とりあえず手を動かして考えましょう」といえますが実際の本番ではそんな悠長なことは言ってられないと思います。


ちなみにもう少しヒントを言ってしまえばこれも不定方程式です。(最近それ多いですけど。)

さて、どんなもんでしょうか。


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数に強くなる

前回の問題の解説です。

中学受験において不定方程式のように答えが一つに定まらない問題は「数に強いか」どうかが分かれ目になるのではないかなと思います。

このような問題はつるかめ算や、和差算、条件整理、などテキストによって呼ばれかたや分類のされ方に違いがあります。そもそもつるかめ算は和差算と同じ枠にはめ込まれることもありますし。

ただ共通して言えることが数に強い、すなわち計算力がものを言うと思います。
単元としては素因数分解の「積の形に直す」というこの計算練習はそれそのもの自体は単純なので軽視されがちです。たいていテキストに載っているレベルであればすぐにできるからです。(例:12を積の形であらわせ→12=2×2×3etc)


素因数分解がものをいうのはほかの単元の応用題です。
今回取り上げた問題などは典型なんじゃないでしょうか。


式を立てると

66×X+35×Y=3890
(X、Yは整数)

普通のつるかめ算、連立方程式であればX+Yの値が分かっているわけです。
この問題はわからないわけです。
着眼点といいましたが注目するのは分かっている数字の1の位です。
3890ということは10の倍数です。そうするとこの条件を満たすためには66は5の倍数でなくてはいけません。

もう少し詳しく説明すると、35は何倍しても5の倍数です。ということは1の位は0か5になるわけです。しかしですね、もしもこちらの数が計算したときに1の位が5になってしまった場合(すなわち奇数倍ということです)66の掛け算の値は1の位が5にならないと、それぞれ足した時に3890のように10の倍数にならないのです。ですが66は何倍しても整数倍では一の位を5にすることは無理です。そうなると66の倍数は一の位を0にするためには5の倍数しかないのです。

35の倍数は何倍しても5の倍数と言いましたが、もう少し細かく分けると偶数倍で一の位が0、奇数倍で1の位が5になります。66の倍数は一の位が0になるので、35のほうも0にならないと足した時に10の倍数は出来上がりません。

なので、まとめると66は5の倍数、35は2の倍数でなくてはいけないということがわかります。

後はこれに当てはまるものを地道に調べてもいいです(xに5,10,15・・・と代入していき成り立つものを探す)

もう少し計算を少なくしたいのならば5の倍数2の倍数でまとめてしまいます。
すると式は
66×5×a+35×2×b=330×a+70×b=3890
さらに簡単に33×a+7×b=389にしてもいいでしょう。
ちなみにaに当てはまる数はどんなに大きくても11以下です。そういうこともすぐピンとくると地道な計算もそれほど面倒だなと思わずにできるかもしれません。
aとbに当てはまる数は5と32だけです。答えは5個と32個としないようにに注意しましょう、念のため。カキは5個セット、みかんは2個セットで計算してますよ。

ということでこたえはカキが5×5=25個でみかんが32×2=64個です


答え
カキ25個 ミカン64個


数に強くなくてはいけない、ということが伝わってしょうか。素因数分解というのはそのものよりもほかの単元に含まれているときに使えるか使えないかで雲泥の差です。ですから計算ができたからと軽視せずに、様々な単元に利用できなくてはあまり効果を発揮しません。

なぜ5の倍数か、2の倍数か、ということを説明しましたが、計算力が高ければ高いほどこの話は短くて済みます。どこに着目すればいいのかさえ体が覚えてくれば、この問題に5分以上も時間をかけることはなくなるでしょう。

普段の計算演習というのはどのようなレベルの学校を受験するにもとても重要です。とくにここ2,3年のように奇をてらった問題や超難問があまり見られない時期には尚のことです。

開成を十分に受かるレベルの子どもだって基礎力トレーニングは欠かさないものです。
思考力を高めることはとても重要ですが、それをうまく活用できるだけの計算力がなければ効果が半減します。

計算なんてやればできる、なんて言っておろそかにしているうちはちゃんとした実力がつかないと思います。
そのことは十分十分肝に銘じておいたほうがと思います。


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不定方程式

中学受験では明確な解法がない問題は少なからず存在します。数学の世界でも存在しますがその中に不定方程式というのがあります

中学受験では実際この単語で表現されることは少ないのですがこの不定方程式の問題というのはしばしば程ではありませんが、めったにないよりは頻度が高いでしょうか。

実際に問題を見てみましょう。
3月14日の朝日新聞、灘中の問題を取り上げてみます。


問題

1個66円のカキと、1個35円のミカンを合わせて3890円分買った。このとき書きは(①)個、ミカンは(②)個である。




問題はこのようにシンプルなのですが着眼点に慣れていないと10分近くかかってしまうかもしれません。


大分前に条件整理の問題を話題にしましたが、これも不定方程式の要素を含んでいるかもしれません。(2008年7月14日の記事ですね)
このときは算数は西高東低なのか?ということにも少し触れました。
とあるお母さんに「こんなレベル関西の子供じゃ1分以内に解けて当然ですよ。」と言われて驚きました。
関西から関東へ引っ越してきたみたいでサピのテキストは簡単で物足りないみたいなこと言っていましたが・・・・。(結局どこに進学したのかはわからずじまいです。)


たしかにこの問題、灘であれば尚のこと時間はかけられないと思います。1分以内とは言わないでも3分くらいで解けたらいいんじゃないでしょうか。

着眼点というのはですね、数字そのものですね。どういう数字が当てはまる可能性があるのか絞り込めば闇雲に探さずに済むということです。

解説は次回します。


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9月13日の解説 〰鶴亀算〰

9月13日の答え  

さて昨日の問題です。

ええと、単元としてはつるかめ算というやつです。大きく分けて和と差の文章題なんて言われることが多いと思います。

よく中学受験から連想する人で「ああ、つるかめ算ね」と言う人がよくいますがそのつるかめ算です。

まずは解説からすませましょう。


つるかめ算は今、面積図で解説するテキストは徐々に見かけなくなってきている気がします。まあ、そう言う覚え方だと忘れちゃうからいいことだとは思うんですが。

ああ、でもこれ考えてみたら(1)はつるかめじゃちょっとわかりづらいな(汗)。
つるかめ算を学習するときにその前段階や派生した問題として学習する解法です。

ええ、こんな感じでどうでしょう?

(1)

平仮名が漢字になると1文字から3文字、つまり2文字増えます。2文字増えるという返還を繰り返したら、14文字増えました。なので14÷2=7回変換しました。

なので答えは7文字です。


答え  7文字

次はつるかめ算ですね、ただ答えが一つに定まらないやつです。数学風にいえば「不定方程式」っていうんでしょうか?ちょっと自信ないけど。

ちなみに基本的なつるかめ算は連立方程式です。

そういえば前「1分で解けなきゃいけない」という問題の記事を書きましたがあれの中にも答えが一つに定まらない問題がありました。だからどうすばやく考えることもなく手を動かしても1分で解くにはまぐれあたりしかなさそうだと思ったんですが、関西のほうじゃあれが当たり前でびっくりしました。

不定方程式を一発で出すやり方があるんでしょうか?僕はまだまだ勉強不足なようです。


あ、話戻します。


(2)

漢字をひらがなに直すと4文字と3文字、つまりそれぞれ3文字と2文字増えるということですね。そして3文字漢字のほうが4文字漢字より多いということも見逃さないようにしましょう。

ええ、もうXとYであらわしていいですね。

2×X+3×Y=14(X>Yで、ともに整数)

ちなみに、(1)、(2)の前の文章で「28文字が42文字になった」と書いてあればこれは(1)、(2)両方の条件になります。一応気を付けてください。

X、Yに当てはまる数は何かな~とさがしてみますと

(X、Y)=(7,0)(4,2)、(1,4)と3通りできます。その中で条件を満たすのは(4,2)だけです。(7,0)は0じゃ駄目ですし、(1,4)じゃYのほうが、つまり4文字漢字のほうが多くなります。
(ここら辺の探し方はほかの単元の話になりますので今回省略します)
ということでXは4文字。


答え 4文字   

以上




つるかめ算というのは実はいろんな場面で出てきます。

和と差の文章題以外で一番多いのが売買算、速さでしょうか。


あと上の問題のように鶴(X)と亀(Y)の値が1通りに定まらない場合は場合の数や条件整理の分野で出題されることもあります。


ともかくいろんな単元で応用題を作ろうと思えばつるかめ算を使う問題というのはたくさん作れるということです。



本来こういう応用題の力というのは、普段学習している単元の流れをつかもうと意識しているか、どうかだと思います。

僕は学生の頃勉強はかなりできないほうだったのですが、たいていクラスには対して勉強してないのに出来る奴っていますよね。あ、あのなんかうそついてるとかそういう類のじゃなくてほんとにやってないのにとれる奴です。

こういう人間は勉強の流れや、出題する先生の一番言いたいことっていうのが理解できるんでしょうね。


教える立場になって塾のカリキュラムというのを見ると、どこもよく出来てるなと思いますね。

そしてその流れというのはたいてい4年生位から本格的に始まっているんですね、ですからその時期にいかに正しい方向で勉強するかというのは本当に重要だと思います。


実際6年生になって基本問題で抜け落ちる子というのは上位の子、偏差値が60くらいの子でもいます。「あ、これは~~算だ」と理解できる子というのはわずかでしょうし、それが理解できるまだ偏差値の低い子であれば学力は高いので伸びるのは早いでしょうね。


どうしても5年生位になると算数の進度というのは速くなります。難しさも増してきますし。そういう時にわき目も振らずがむしゃらに勉強するのもそれはそれで努力は大変なものですが、意外に6年生になって躓く子というのは多いんですね。思うようにいかないというか。

たとえば、今まではトップ層のクラスにいたのに、気づいたら真ん中くらいに落ちてきた、なんて言う生徒を見ていると、猛烈に努力した形跡がみられるのに、本人が自分のやってきた内容をしっかり把握できていない、自覚できていない、という場合が多い気がします。


とてももったいないかなと。実際、6年生になって挽回しようにも忙しすぎてなかなか機会がないんですよね。


ですからまず塾にはいったら「実力テストで如何にいい成績をとれるか」やはりこれを目標として取り組んでほしいですね。何年生であれ。

もちろん普段の定期テストの積み重ねが実力テストに影響するのは言うまでもありません。ついつい範囲のあるテストだからと気合を入れすぎて、逆に範囲のないテストは悪くても仕方がない、と思いがちになる人もいるでしょう。

でもそれじゃあまずい、と踏ん張ってほしいですね、とても根気がいる大変な作業ですけど。

そしてそうすることで後々の苦労が格段に減ることは間違いないです。

サピなんか親切に5年生までのテキストで「今回こういうことならいますから、これに気をつけて勉強しましょう」とか書いてくれますね、あれは本当に秀逸だなと思います。

あれ、読むこと読まない子じゃ差はつくと思います。

学習内容の流れをつかむ、こういうのを意識してほしいです。


今回取り上げた問題ではちょっとそういうのを意識してほしくて解説してみました。

「なぜこうなるの?」という考えを問題ごとの単位ではなく「なぜ先週あの単元を学習して今週はこの単元なの?」ともっと大きいスパンでみるとより算数が楽しくなるかもしれません♪


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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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