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平面図形の閃きと積み重ね



相似を使わない図形の問題というとどういうのがあるのか・・・。

少し考えていたんですけど、言葉でいうと至ってシンプルですが等積移動に関する問題が大半だと思います。

あとは角度が30度、60度、90度の直角三角形でしょうか、いわゆる定規の三角形です。これも多いですね。いくらでも応用問題が出来上がりそうです。

もちろん比と等積移動を両方使う問題もありますが。

種類で言うとそんなもんかと思われるかもしれませんが、これが実に深いです。
よくこんな問題思いつくな、というのはたくさんあります。

極めつけはパズル系の問題でしょうか。同じ面積の図形を移動するという点においては等積変形ですがほとんど強引というか、とにかくまあめちゃくちゃ難問も存在します。

確かにそういう類になるとひらめきがほとんどかもしれません。


正方形、長方形、三角形、平行四辺形、台形、円、おうぎ形の面積の求め方を習ったら公式として覚えるものはないです。


・・・・言いきっちゃったけど、たぶんないです。何か忘れていたら突っ込み入れてください・・・・。

複雑な図形を解くためには便利な公式というのはいくつかありますが、そういうのは覚えても覚えなくてもいいものもたくさんあります。基本的な公式を覚えていたら導き出せますからね。

多くの子供が意味もわからず覚えている高度な公式もあるのですが、意味が分からないがために3ヶ月もたてばきれいさっぱり忘れていることが多いです。

これでは意味がないですね。



僕は平面図形に関しては基本的な公式を覚えたら、後はできる限り沢山の問題を解くように勧めます。

様々な問題に触れることで、つまり経験を積むことでひらめきが向上すると考えているからです。

図形の問題というのは本当に奥が深いなとつくづく思います。
様々な要素を組み合わせることで無限に近い問題が出来上がると思うのです。

出題する学校によってはややフライング気味かなと思うこともよくあります。

たとえば前回の問題で話した平方数を使う問題の中には、明らかに数学の要素で話したほうが無理なく理解できそうなのもあります。

6年生までの受験算数の範囲を大きく逸脱しているのでは、と感じるんですね。

ただそもそも受験算数そのものが無法地帯のようなものなので、どこからが学習要綱に反しているのかまるであいまいです。

あとは作る側の腕次第というところでしょうか。

子どもたちが塾で学習している内容をよく理解していて作られている良問もあれば、独りよがりにうつる難問もありますし。

中堅校の良しあしはそこら辺のさじ加減で何となく見えてきますね。

個人的な考えですが平易な問題で構成されていて偏差値の高い学校というのは教育的にはいい学校なんじゃないかと思います。

(あ、別に慶応中等部がそうだからってわけじゃないですよ。)

逆を言えば偏差値がそれほど高くなくても最難関レベルの問題を出す学校はどうかな、と思うんです。あまり意味がない気がするんです。

ひょっとしたら希望も含まれているのかもしれませんが、うちの学校はこれぐらいの問題を解ける子供がほしい、という。

渋幕なんかは本当にすごいと思います。問題レベルの高さまでに自分の学校のレベルも引き上げてしまっているわけですからね、よほど学校の先生たちが優れているんでしょうね。詳しいことは知りませんが創立年数(中学の)、偏差値、問題を見るだけでもそのすごさは感じます。


平面図形の問題というのは難問と良問の見極めが難しい単元だと思います。

これを正しく見極めるにはいかに多くの問題を演習してきたかの経験に尽きるんじゃないでしょうか。

本番、まるで降ってきたかのようなひらめきだけに頼るのは危険だと思います。

多くの子供は、図形で詰まってしまうと「なんとなく」で値を決めてしまいます。
それでは100パーセント間違うとは言いませんが、やはり「当たる」確率は低いです。
なによりそれでは学力が本当の意味で身につかないですからね、本番以外はそういう考えは捨てたいものです。


おそらく作る側もどれが超難問でどこまでが程良いのか区別がつかないこともあるかもしれません。

ただ発想の糸口は経験で積み重ねていくのがもっとも効率がいいと思います。

たとえば角度が30度の倍数の三角形が出てきたら、まず一度は三角定規の形を思い浮かべ斜辺と短い辺の比が1:2というのを利用しないかどうか検討する必要はあると思うのです。
こういうのは経験ですよね、そしてそこからどうすればいいかというひらめきの出番です。
というか、そう思うのです。



話し始めたはいいけどあまりにも深いので表面的な話しかできませんでした。

どこで区切ればいいかもよくわからない(汗)


ええ、結論はですね。
ひらめきを伸ばすには積み重ねが必要だということでしょうか。
そしてほかの単元とは違い、基本の公式を覚えたらできる限り沢山の問題と触れるのがいいかと。あまり応用、基本考えず。(発展レベルはやるかどうか判断は必要ですが・・・)

また逆に4年生以下のほうがパズル系の問題にどんどん触れると後々いいかもしれませんね。理屈じゃない部分もありますから。




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平面図形の比


平面図形はセンスのようなものが問われるようで、実は積み重ねがとても重要です。
積みかさねれば、大抵どうにかなります。いや、ほとんどですね、どうにかなると思います。

どの段階から話せばいいのかは難しいのですね、えと、じゃあ円や三角形の複合図形に関しての話は置いといて、比を利用する平面図形に関して絞って話してみたいと思います。

まず目につく初歩的なことを言えば相似比と面積比の違いについてです。

これを明確に説明できる子供は意外に少ないです。

違いが説明できない子は、昨日の話にもつながりますが覚えている知識があいまいなのです。

たとえば長さの比が1:2の三角形があった時にそれらの三角形の面積比はいくつかと問われると1:2と平気で答える子がいます。もしくは日によって1:2だったりちゃんと1:4と答えられたり。

日によって答えが違う子も「できていない」というふうに解釈しておいたほうがいいでしょうね。

「あの時はあの問題は理解していたのに今回のテストではできていなかった・・・??」

こういうケースはどの単元でも言えることですね。本当に忘れている場合もありますが大半は理解していないです。だからテストでできなくてもそれまでの段階を見れば決して意外性があるわけではないことは多いのです。それは本人に質問をぶつければすぐわかることです。

たとえば縮尺の計算などをやらせるとよくわかります。

「縮尺40000分の1の地図で縦が5センチ、横が8センチの長方形は実際は何平方キロメートルですか?」

パッと5×8×40000×40000÷10000000000とかやってくれればいいですが(単位を直す乗除の書き方は任意です。)

悩んで悩んで、
(長さだけをなおすのはすぐできるんだけど面積はなぁ・・・。単位もよくわかんないし。
なんか二回掛けるんだか、割るんだか・・・まあ、どうでもいいや・・・。とりあえず割ってみるか。でも数が大きいし割り切れなさそうだから掛けてみようか。あ、キリがいいからまあこんな感じで答えっぽいかな。)

こんな思考回路が見て取れる計算式は多いですね。

結局のところ仕組みが理解できていないんですね。相似との密接なつながりというのが理解できていないのだと思います。


「面積比は相似比とは話が違うよ?」

このような解説でピンと来てくれる子は助かります。よく理解できているし、いわゆる応用が利きます。

つまり覚えるべきことをしっかり覚えているので、どういうことは覚えなくていいのかある程度分かっているし、また覚えたほうがいいようなことを忘れていても自分で導き出すことができます。


家庭教師という立場から言えば、やはり5年生から子供の指導ができるのが理想的ですね。もしくは4年の夏くらい。6年生になれば難関以上を目指す子には大体の単元において初歩的な知識というのは暗記してもらっていないとなかなか難しいです。

比での話に関して言えば、志望校が中堅校クラスというのであれば再び6年生で学習し直す余裕はあります。最難関志望の子供で相似比の基本的な計算が理解できていないのはきついです。

もちろん、6年生でも修正がきく子もいますが、改善しにくい子も少なくない、というのも事実です。

秋頃にチンプンカンプンだと・・・結構末期症状です。(受験をゴールとすれば)

なのでその旨を親に伝えるのは、いつもいつもとても微妙です・・・・。

算数というのは(数学もそうかもしれませんが)4年生や5年生の頃には見かけ上そんなに差がないのに、6年生になって顕著に表れる場合というのはよくあります。

たとえば上にかいたこの質問


「面積比は相似比とは話が違うよ?」


カリキュラムテスト、週例テスト、マンスリーテスト、アタックテスト、定例テスト。

この規模のテストであればこの質問に答えられても答えられなくてもあまり得点では差はないかもしれませんね。


しかし6年生では目に見えて差が出ます。

特にサピの夏前くらいからでかなりはっきりしてきます。
なぜなら範囲のあるテストでもテキスト通りの問題なんか余りでてこなくなるからです。

他の塾はその点まだ子供想いとも言えるし、やり方が甘いとも言えるし。

少なくとも確実に合格実績に響いている気はしますが。

どちらがいいか悪いかはわかりません。ただ塾の方針はそれぞれ見て取れます。標準レベルとして、自分のたちの塾の子供にどのくらいのクオリティを求めているのか。


伸び悩みの子供はこういう部分で差がついているといっても過言ではないくらいです。
本当に暗記しなくてはいけない大事な要素をあいまいにしたまま過ぎてしまうからなんですね。

ここら辺は塾の先生の腕次第という気もしますが、昨日も書いたように難しい部分もあると思います。集団授業でみんながみんなそれを理解できるよう授業をすすめることは、無理なんじゃないですかね。


今日取り上げた話は比が元になっている話でしたが、んじゃあ、あまり比を使わない図形はどうなんでしょうかね。

今度はそっちについて少し。


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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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