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朝日新聞掲載問題 2010年3月27日 答えと解説

前回の問題の解説です。

単元としては速さと比の問題です。線分図を描くと、同じ距離においてそれぞれがどれだけの時間をかけて進んだのかがわかり、それをもとにして解いていきます。

んが・・・・この手の問題を経験していたり、よほど応用力のある子供でないと数分で解くのは難しいんじゃないかなと思います。

~~

二人が出会うまでにかかる時間を①とします。出会ってから25分後に太郎君は着き、次郎君はその24分後、つまり25+24=49分後に到着します。
同じ距離において速さの比というのは対応しますね。(たとえば10㎞にかかる時間の比が
1:2だったら20kmにかかる時間の比も1:2です。)速さの比で学習する最も基本的な知識です。

この問題では太郎君が①分かかった道のりを次郎君は49分、太郎君が25分かかった道のりを次郎君は①分かかったわけです。すると①:49=25:①という比例式が成り立ちます。

比を習いたての大抵の小学生は「①を何倍すれば25になるんだよ~」って話になりますね。まあその段階の子供はまだまだ解ける必要がないのでこの問題は置いておいていいと思います。

じゃあ、「内項と外項の積の公式」を知っていれば(普通は数学の公式ですが、受験算数のテキストではほぼ間違いなく載っています。倍数変化算と共に学習する場合もあります。)解けるかといえばそこでも躓く子供がいるでしょう。ここでは素因数分解が肝だと思います。

公式に当てはめると①×①=49×25となります。49×25=1225です。
同じ数を二回かけて1225になるものを探してもいいですが(1225÷2とかしないように)49と25ですぐにピンと来る子供ならば素因数分解して終わりです。

つまり①×①=7×7×5×5=(7×5)×(7×5)=35×35となり①が35になることがわかります。(ちなみに1225を素因数数分解しても同じ過程をたどるはずです。)

はい、そうするとですね、太郎君が35分かかる道のりを次郎君が49分、太郎君が25分かかる道のりを太郎君が35分。時間の比が35:49=25:35=5:7になります。
速さの比は時間の比の逆比で7:5となり、太郎君の速さを7とおくと次郎君が5です。
7÷5=1.4となります。

答え1.4倍

~~


速さの問題で「すっきりした文章だが簡単ではない」という点では良問かもしれないし、「受験算数の範疇を超えつつある」という点においては良問とはいえないかもしれません。

この問題は数学ではごく普通に見られる問題です。普通、中学1年生では扱わないでしょう。2年生か3年生だと思います。
中学生では二次方程式を使えばいいです。①をXとおいてX二乗=49×25として移項して因数分解なり、解の公式で解けばいいわけです。やっていることは変わらないようでやはり違うんですね。
そもそも算数では①×①の表現が明確でないのです。(鶴亀、消去など1次式までは学習しますが、2次式までは原則触れないです。扱うのは平方数くらいでしょうか。)
1の○を二重丸にするとかもありますが、じゃあ、なぜそうなるのかという話になると、これは現時点では受験算数を逸脱していると思います。んだから大抵の場合①×①の話はあいまいなままになっていたり□×□として平方数を求める形に持っていったりします。

しかしここら辺になってくると子供それぞれ感性がちがいますので、様々なことに疑問を持つ可能性があります。①×①はどうなるんだとか、□分じゃピンとこないとか・・・。

誰もがさっくり素因数分解の話をしてストンと理解してくれるわけでもないです。(それが天才と秀才の違いと言われたらそれまでですが)というか疑問を持つ子供がおかしいとも思いません、流れからしてそれはそれで自然だと思います。平方数できちんと①が求められるんだ、へえ面白いってみんながみんな、なってくれれば助かるんですが。

おそらく灘を受ける子供たちの学力は上位の中の上位なのでこれくらいはスラスラ解けないといけないんでしょう。僕は灘に受かる子供たちの標準的な算数学力をじかに見たことないんでよくわかりません。
このレベルの問題で「これは小学生にはちょっと・・・」なんていったら関西系の算数講師に「この下手れがあ!!そんな能無し指導者はいらんわボケ!!」とかいわれてフルボッコにされそうです(汗)。

初めてこの手の問題、つまり平方数を利用する問題を見た頃に比べて、今であればこの問題はそれほど違和感なく映るのですが、やはりあらためてみると微妙かなあという気がします。

個人的な見解としては中堅校レベルで出題されたらいい問題とはいえないと思いますが、御三家クラスなら「まあ解ける子供もいるだろうから・・・いいのかな」という感じです。

小学生でも「方程式はある程度扱えて当然」というつもりで出題していくるのか、それとも「これを方程式を使わないで解く柔軟性を見たい」というつもりなのか、その意図は定かではありません。これが「速さの問題を見せかけて素因数分解をうまく使用できるか」というのを見たいのであれば良問といえるし、「方程式使える子もいるだろうし、ちょっとこんなんでもいいかな」という感覚であれば出題は避けたいです。

まあ、でもやっぱり素因数分解を利用した良問ということなんでしょうか。
いろいろふりかえってみると、こういうのは結構ありますしね。
書いているうちにギャアギャア言うほどのことでもないような気がしてきました。

ありかなしか・・・毎日算数の指導をしているせいかよくわからなくなります。


とりあえず、自分の感覚にブレーキをかけるつもりで、この問題を取り上げてみました。


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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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