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第二回 合不合予備 2010年7月18日 解答と解説


前回の問題の解答と解説です。

積が等しくなるためにはAとBに書かれた三枚のカードの積を素因数分解したときに同じ数字になっているということです。それ気に気がつけば、ただ単にやみくもに考えるのではなく考える方向がぐっと絞られてきます。1から9までの数をそれぞれ素因数分解すると
1=1
2=2
3=3
4=2×2
5=5
6=2×3
7=7
8=2×2×2
9=3×3
となり1から9までには素数が2が7個、3が4個、そして素数である5と7が一つずつあります。
つまり5と7は一つしかないのでAとBの二人に等しく分けることはできません。なので5と7のカードはCが持っているということになります。(説明がいまいちどうも下手ですが伝わるでしょうか。)
あとは2と3をどのようにAとBに等しく分けることができるか、ということになります。
また3がちょうど4個あり、Cはすでに5と7のカードを持っているので1枚しか持てないので、3を含むカード、これはAとBに二個ずつ分けないといけません。(理由の説明は省きますが、ピンとこない人は実際に3か6か9のカードをCが持ったとして考えてみましょう。うまくいかなくなります。)

また9は3×3で3が二つあるのでカードはどちらかが3と6を持ち、もう一方が9を持っているということになります。

これでだいぶ条件が絞られていきます。わかる範囲を整理すると

A(3,6、□)か(9、□、□)
B(9、□、□)か(3,6、□)
C(5,7、□)か(5,7、□)

となり、残り4枚のカードをどう割り振るかです。
3と6のカードを持っているほうは6の中に2が含まれているので(2×3より)9を持っている人は、3と6を持っているほうよりも2が一つ多くなるように割り振ればいいわけです。
ちょっと分かりづらい日本語ですいません。
(適切かどうか知りませんが、普段僕は勝手に素因数分解する数を「成分」と呼んで解説しています。たとえば6だったら2と3の成分を一つ持っていて、8だったら2の成分を3つ持っている、といった具合です。)

残りのカードは2しか素数に持っていないので、9のカードを持っているほうが2の成分を一つ多くするように分けると(4と1,8)か(2と1,4)の2パターンが考えられます。

つまり3人が持っているカードのパターンは

A(3,6,4)か(9、1,8)もしくは(3,6,2)か(9,1,4)
B(9,1,8)か(3,6,4)もしくは(9,1,4)か(3,6,2)
C(5,7,2)か(5,7,2)もしくは(5,7,8)か(5,7,8)

となります。

ということでCは(5,7,2)であれば和が14で(5,7,8)であれば20となります。

答え14 20


(2)
まずCが持っているカードの和は三人が持っているカードの平均と等しいということが分からないと先へはすすめません。(AがX+a、CがX、BがX-aとすると三人の和は3Xとなります、1から9までの和は45でありそれが3XなのでX=15となります。小学生には和と差で解説すればいいと思います。)

またCはどちらのパターンでもはじめに5のカードを持っているのでCからAに5のカードが渡ったということが分かります。

もしCが(5,7,8)だったとすると5をAに渡し、Bからいずれのカードを受け取っても必ず15を超えてしまいます。(7と8の二枚の和ですでに15になります。)
なのでCは(2,5,7)であったことが分かります。

CはAに5をあげてBから何かをもらって15になるので15-(2+7)=6より6をもらったことが分かります。

すると(1)より三人が初めに持っていたカードは
A(1,8,9)
B(3,4,6)
C(2,5,7)
ということが分かります。あとはA、C、Bの順になるようにやり取りさせてみましょう。ここまでくればもうやり方はどうでもいいので手作業で調べればいいだけです。

A(1,8,9)→(5,8,9)
B(3,4,6)→(1,3,4)
C(2,5,7)→(2,6,7)

答え(1,3,4)


コメントにもいただいたように5と7がカギになります。
大体どこの塾でも5年生の初めごろに約数、倍数に関することを学習します。最小公倍数最大公約数などは次に本格的に学習する分数の準備段階ですね。

その時にたいていさりげなく積の形(素因数分解)のやり方を学びますが、そのままそれが本番で出題されることはまずないです。今回の問題のように数の性質、場合の数、推理などに利用する場合が多いです。

8月の、この時期は6年生の大半は徐々に過去問に触れる機会が多くなってきます。実戦の問題に触れるという、そういう経験を通してこの手の問題は半年後にクリアできるようにならないといけません。今回のテストで解けなかった子もできれば夏休み明けには解けるようになると良いです。

お盆になると塾が数日休みになりますが、キチンと計画は立てているでしょうか。
数日とはいえ過ごし方如何で少なからず差が出てきます。

僕の指導している子供たちはとりあえずは・・・・目立った課題もなく各々、その子なりに過ごしていますが、夏休み明けのテストは心配です(汗)みんな頑張ってくれるといいんですが・・・。




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プロフィール

shioshioshu

Author:shioshioshu
1980年生まれ 男性
慶応中等部出身
担当教科 主に算数
合格実績 麻布、駒東、ラサール、桜蔭、女子学院、渋幕、渋々、慶応普通部、慶応中等部、早稲田中、渋渋、武蔵、サレジオ、広尾、青学、学習院、浦和明の星 等

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